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1 引言

在教育与心理测量中，公平性是一个重要的考量。《教育和心理测试标准》认为测验的公平性是指在测试过程中给予被试公平的待遇以及为所有被试提供平等的机会[1]。项目功能差异（Differential Item Functioning，DIF）是影响测验公平性的重要因素。DIF指被试所属的群体不同（如不同性别、种族、文化、地域等）但其能力水平（或潜在特质）相同时，正确回答某些项目的概率存在差异。如果项目中存在DIF，则说明被试在该项目上的得分不仅取决于被试的知识或能力水平，而且在很大程度上取决于被试所属的群体，即该项目对不同的群体存在不公平现象。

DIF的检测方法始于20世纪70年代，在20世纪80年代形成一般的统计框架[1]。近年来，很多研究者致力于DIF检测方法的开发。综合而言，这些方法可以分为两大类：非参数化检测方法和参数化检测方法。非参数化检测方法包括：逻辑斯蒂克回归（Logistic Regression，LR）[2]、Mantel–Haenszel方法（MH）[3]、标准化（Standardization）[4]、同时性项目偏差测验（the Simultaneous Test Bias，SIBTEST）[5]和Breslow–Day（BD）等。基于项目反应理论（Item Response Theory，IRT）的参数化检测方法包括：似然比检验法（Likelihood Ratio Test，LRT）、Raju面积测量法和Lord卡方检验法等。在实际应用中还存在包含多个目标组的情况，因而研究者在两个组（一个对照组和一个目标组）基础上开发了适用于多组的DIF检测方法。例如，广义的MH方法（the Generalized Mantel-Haenszel Test，GMH）、广义的LR方法（Generalized Logistic Regression，GLR）、广义的Lord卡方测试（Generalized Lord’s Chi-square Test）。

本文将首先介绍测验中常用的三参数IRT模型；然后以此为基础，详细阐述IRT框架下非参数和参数的DIF检测方法，以及各种方法的适用条件和影响因素；最后，指出当前研究的局限性以及未来的研究展望。

2 项目反应理论模型

IRT描述的是被试在测验项目上的正确作答反应同潜在特质水平之间的定量关系[16]。IRT模型有一参数、两参数和三参数逻辑斯蒂克模型，分别用1PL、2PL和3PL表示。3PL是最常见IRT模型之一，它包括三个项目参数：区分度、难度和猜测参数[17]。3PL项目反应函数（IRF）采用以下这种形式：

（1）

其中，θn是第n个被试的能力水平，gj是猜测系数，dj是项目难度，aj是项目区分度。在3PL中，如果猜测参数值设置为0，则得到的模型为2PL模型，如果令aj=a可以获得1PL。基于IRT的参数化检测方法一般将被试潜在特质水平作为匹配变量，比较不同组被试之间项目参数的差异，如果项目参数估计值在不同组之间存在显著差异，则认为该项目存在DIF。非参数方法一般将原始分数作为匹配变量，比较不同组被试在测验项目上作答的表现，如果存在显著性差异则认为存在DIF。在同一项目上，如果一组被试的能力水平均高于另一组被试，说明项目中存在一致性DIF，若被试的能力水平和组别之间存在交互作用，则说明项目中存在非一致性DIF。在基于IRT的参数化方法中，特定模型的选择影响所假设的DIF效应类型[19]。

3 非参数检测方法

3.1 MH方法

MH方法[3]是一种常用的检测DIF的方法，根据测验总分有条件地检测被试和项目作答反应之间是否存在关联。设Nm为目标组和对照组中总分为m的被试数，根据被试分组和项目J的作答情况，可以将这Nm个被试分为一个2×2列联表（如表1）。

表1 2×2列联表

Table 1 The 2×2 Contingency Table

表1中Am和 Bm分别是对照组中正确和错误作答项目J的人数，Cm和 Dm分别为目标组中正确和错误作答项目J的人数。对照组和目标组的被试总数分别为NmR=Am+Bm和NmF=Cm+Dm；正确和错误作答项目的数量分别为Nm1=Am+Cm和 Nm0=Bm+Dm。αMH的计算公式可以表达为：

（2）

当αMH=1时，项目无DIF值；αMH<1时，目标组难度较低；αMH>1时，对照组难度较低。Mantel 和 Haenszel为检测αMH是否等于1，提出了MHχ2统计量[3]（以下称MH）：

 （3）

其中，

 （4）

和

（5）

公式（3）的分子中，-0.5是亚茨（Yates）连续性校正项，目的是使MH更好地近似连续型卡方分布。

MH统计量的虚无假设是没有DIF存在，即项目反应和被试之间没有联系，若无DIF存在时，MH统计量遵循自由度为1的卡方分布，如果MH的值大于临界值时，则断定项目存在DIF。美国教育测验服务中心（ETS）为与其Δ量表相匹配[20]，对αMH进行了变换，转换公式如下：

（6）

Mantel和Haenszel提出的MH统计量在多个目标组情况下的DIF检测能力很差[3]。进而，Somes提出了GMH统计量，并详细介绍了GMH统计量及应用[13]，但是MH和GMH还是更适用于检测一致性DIF，对于非一致性的DIF检测能力很低。因此，Clauser、Mazor和Hambleton提出了一种标准MH程序的变式——vaMH[21]，用于非一致性DIF检测，并发现其比MH和LR有更好的统计检验力，并且能更好控制LR的一类错误率[22]。

此外，Penfield比较了在多个目标组情况下MH统计量，使用Bonferroni不等式对α水平进行校正后的MH统计量，以及GMH统计量三种DIF检测方法[23]。其结果表明，在大多数条件下GMH是最适合于检测DIF的程序，因为它的一类错误率保持在0.05显著性水平，并且有很好的统计检验力。在Penfield的研究中，影响因素有目标组数、样本量、能力水平分布差异和组内DIF数量，研究发现，目标组数量对GMH统计量的一类错误率没有影响，样本量的增加会使其统计检验力变好。Guilera，Gómez-Benito，Hidalgo和Sánchez-Meca对用于检测DIF的MH统计量的相关研究进行元分析[24]，结果发现，测试长度对一类错误率和统计检验力的影响最小；样本量的增加会使统计检验力增大，综合各方面因素样本量在1000左右将是最有效的；目标组和对照组的样本量不同会使一类错误率增大，统计检验力降低；使用项目净化程序可以显著降低一类错误率，提高统计检验力；检测DIF所用模型与Rasch模型的差异越大，一类错误率越大，统计检验力越小；项目的DIF比例越高，一类错误率越大，统计检验力越低，比例在20%以上尤为明显。

3.2 标准化与SIBTEST方法

标准化方法是一种类似于MH的更容易理解的描述和解释DIF的方法[25]。标准化方法中，通过比较每组被试正确作答概率和测验总分的比例检测DIF是否存在。标准化的p值差异（ST-p-DIF）可以看作是目标组和对照组的被试正确作答概率的差异的加权平均值，其表达式为：

（7）

其中， 是目标组与对照组内被试正确作答某一项目的概率，ωm是目标组内被试测试总分m所占比重。ST-p-DIF统计量取值范围为-1到1，统计量的值越接近0，则DIF项目越少。Dorans和Holland还提出了针对多项选择项目的标准化测试[26]，标准化方法的结果通常与MH的结果一致，两种方法之间关系密切，MH方法中存在的问题也在标准化方法中有所体现。

SIBTEST方法可以看作是标准化方法的一种推广[5]。SIBTEST分为可疑分测验和匹配分测验项目两部分，是用于检测一致性DIF的方法，比较的是目标组和对照组被试的正确作答概率，可表示为：

（8）

其中，Y是可疑分测验项目未加权的总分，X为匹配分测验项目未加权的总分，CX为X中最有可能取得的总分，为在两组中正确作答该项目的被试的比例，和分别是对照组和目标组在匹配分测验上总分为X=c时，所有被试所得Y值的平均数。

进而，得到式（8）的渐近标准误差估计：

（9）

其中，分别是匹配测验分数为C时，目标组和对照组被试在可疑分测验上总分的方差。NRc和NFc是当X = c时，对照组和目标组的被试数。计算得出 和后，可得统计量：

（10）

当项目不存在DIF时，SIBTEST统计量近似服从标准正态分布。式（7）中，两组被试需要有相同的能力水平，但是在实际测验中两组的被试的能力水平可能不同。Li和Stout开发一种新的程序，交叉的SIBTEST（Crossing SIBTEST, CSIBTEST）[6]，CSIBTEST能区分项目中存在DIF的类型。在实际测验中，目标组和对照组的被试有着不同的能力水平，可以表示为：

 （11）

和是去除DIF影响后校正的Y值平均分，kc表示对照组和目标组两条IRF曲线交叉点处的值。式（11）的渐近标准误差估计为：

（12）

由此可得CSIBTEST统计量：

（13）

Philip对Li和Stout提出CSIBTEST的原理进行了改进，提出用大样本χ2假设检验方法代替CSIBTEST统计量和随机化方法[7]。研究结果表明，SIBTEST和CSIBTEST统计量会受到样本量大小的影响，样本量增大会使统计检验力更高。特质分布差异会使SIBTEST的一类错误率增加[27]。与LRT、MH方法相比，测试长度对SIBTEST的影响更大，增加测试长度会对DIF检测结果产生负面影响[28]。Finch和French研究表明，组间能力差异、DIF百分比和生成数据的基本模型不会对SIEBTEST统计量的一类错误率控制产生影响[29]。

3.3 LR方法

LR方法[2]是根据测验总分、被试以及两者之间的相互作用，发展出的一个测量项目正确作答概率的Logistic模型。通过对被试主效应的测试，可以检测出一致性DIF，通过对相互作用的测试，可以检测出非一致性DIF。Logistic回归模型为：

（14）

其中πn是被试n正确回答项目j的概率，Mn是被试n的总分数，Gn是不同组的被试，τ0, τ1, τ2 和 τ3是回归系数。如果τ2=0且τ3=0，项目j不存在DIF；如果项目j存在一致性DIF，则τ2≠0和 τ3=0；如果τ3≠0，项目j有非一致性DIF。

Millsap和Everson提出可以将LR方法推广到两个以上目标组的条件下[25]，Van den Noortgate和De Boeck提出了逻辑混合模型，可以用于检测多组的情况[30]。Kanjee建议在使用LR统计量前，先将所有目标组合并为一个，这种方法避免了成对比较，并可以控制一类错误率膨胀现象，增强统计检验力，但会存在错误标识DIF项目的情况[31]。Magis等人提出了GLR方法[14]，是基于Swaminathan 和 Rogers的LR方法改进得出：

（15）

其中，πng是g组的被试n正确作答概率， α和β是斜率和截距，Mn是被试n的总分。如果一个组的被试和项目作答反应存在交互，αg 和βg至少有一个不等于0，则存在DIF。GLR的优点是即使对照组不明确时，也可以使用。根据研究，被试群体规模越大，模型参数的估计越好，因此DIF识别的准确率也越好。LR的统计检验力不受组间能力差异的影响[29]，Rogers和Swaminathan指出，在高难度和高区分度的项目中，LR一类错误率过高，可能是由于猜测参数对高难度项目的影响较大[32]。Svetina和Rutkowski研究显示，组数对GLR的表现没有影响[33]；在没有DIF的情况下，有膨胀的一类错误率，而在有DIF的情况下非常保守，在DIF值很大时统计检验力一般都很高。Lee提出LR是渐进抽样分布并不适用于小样本条件，其提出基于渐进LRT分布的LR统计量可以适用于小样本的情况[34]。

3.4 BD方法

Breslow-Day（BD）方法是通过确定项目作答反应与被试之间的联系是否是一致的[8]，如果一致则存在一致性DIF；如果不是，则存在非一致性DIF[35]。该统计量表示为：

 （16）

其中，Am为对照组中正确作答所研究项目得分m的被试人数，E和Var分别表示该值的期望值和方差。

其中，E(Am )是二次方程的正根，等于以下两个根中的正值：

（17）

其中，是优势比的估计值，ρ的计算如下：

（18）

Var(Am )计算如下：

（19）

BD统计量也是渐进卡方分布。Hosmer和Lemeshow在多层的列联表分析中提到了同质性优势比的BD方法[36]。Camilli和Shepard指出BD方法可以用来检测非一致性DIF[37]。Aguerri，Galibert，Attorresi和Marañó使用BD与LR和MH进行了比较，发现BD更适合于检测非一致性DIF，在短测验中BD在一类错误率表现优于LR和MH，说明BD更适合于非一致性DIF的检测以及短测验条件[38]。

4 参数检测方法

4.1 似然比检验（Likelihood Ratio Test，LRT）

LRT是一种基于参数和模型的程序，既可以检测一致性DIF，亦可以检测非一致性DIF。在使用LRT程序进行DIF检测时，假设对照组和目标组之间没有项目参数的差异[9]。它由两种模型组成：缩减模型和扩展模型。在缩减模型中，所研究项目的项目参数在两组中被约束为相等；在扩展模型中，所研究项目的项目参数不受约束。

LRT统计量G2的计算公式为：

 （20）

其中，LC为拓展模型的极大似然估计值，LA为缩减模型的极大似然估计值，又可转换为：

（21）

其中，LLC为给定的缩减模型参数的最大似然估计的对数似然；LLA为给定的扩展模型的最大似然估计的对数似然。G2统计量是卡方分布，自由度等于两个模型中项目的参数个数差值。如果统计量值显著大于临界值，则存在DIF值。

不同的DIF项目比例和模型类型是影响LRT的有效因素，DIF项目的比例增加会导致一类错误率的增加；当目标组和对照组的样本大小改变时，LRT、SIBTEST和MH的一类错误率减小，统计检验力增加。在Kim和Cohen的研究中，研究者使用LRT程序检测DIF在不同的样本大小和能力匹配情况下的有良好的一类错误率控制[41]。样本量的大小会影响LRT的统计检验力表现，当两组平均能力分布不同时，LRT依然有良好的一类错误率控制[42]。

4.2 Lord卡方法

Lord卡方检验可以对各类项目反应模型进行拟合，但在拟合时需要将不同组中得到的项目参数转化到同一标准上。该方法使用的Qj统计量有如下形式：

（22）

其中，vjR=(ajR，bjR，cjR )和vjF=(ajF，bjF，cjF )分别是对照组和目标组的项目区分度、项目难度和猜测系数的向量，ΣjR和ΣjF是对照组和目标组作答反应的方差—协方差矩阵。Qj统计量的虚无假设是两组被试的项目参数相等，该统计量是渐进卡方分布，自由度等于模型中估计参数的个数。

Kim，Cohen和Park提出了广义Lord卡方测试，将Lord卡方测试扩展到多个目标组的情况下[15]。广义的Lord卡方统计量根据式（22）改进：

（23）

其中vj = (vjR,vjF )'是对照组和目标组中项目参数估计值的向量，Σj为反应的组块对角矩阵，其中每个对角组块为每组被试项目参数的方差—协方差矩阵。C矩阵是一个设计矩阵，用于项目参数在组之间进行比较[15]。

广义Lord统计量也是渐近卡方分布，自由度与设计矩阵C的等级有关。只有样本量大于1000时，Lord卡方方法对项目参数估计才能更加稳定[43]。Woods，Cai和Wang评估了Lord卡方Wald检验的改进版，在样本量和DIF百分比不同的情况下，将Wald-1、Wald-2算法和 LRT方法同时进行两组和三组的评估[44]。结果表明，两组情况下Wald-1的表现较好，Wald-2的一类错误率很大，在多组情况下LRT和Wald-1方法的表现都好于Wald-2。

4.3 Raju 面积测量法

Raju面积测量法[10]将面积测度分为两种“无符号测度”和“有符号测度”，通过计算目标组和对照组的项目特征曲线间的面积大小来进行DIF检测。其公式可表达如下：

（24）

若两曲线间的面积越大，说明项目存在DIF的可能性就越大；若两曲线间的面积接近于0，则项目无DIF[16]。Raju曾推导出用于1PL、2PL和3PL模型中的面积计算公式[10]，当使用3PL模型时，其公式如下：

 （25）

其中，D是一个比例常数，通常设置为1.7，a为项目区分度，b是项目难度和c是猜测系数。使用2PL模型时，没有猜测参数；若是使用1PL模型时，上述公式简化为|b2-b1|[45]。Raju推导出式（25）的标准误，式（25）所得面积除以标准误，可以转化为Z分数，用以检测其显著性[11]。但是，该方法假定目标组和对照组的项目特征曲线的猜测参数相等，否则Ai的值是无穷大的，无法检测是否显著。

Cohen和Kim的研究采用不同的测试长度、样本量、DIF项目比例以及使用2PL模型进行项目参数估计，结果发现与Raju面积方法相比，使用Lord卡方方法的一类错误率更低，随着测试长度和DIF项目比例的增加，一类错误率也增加，并且随着样本量的增加或DIF统计量的显著性水平从0.01变为0.05，一类错误率降低[46]。

5 总结

本文对用于DIF检验的参数和非参数方法进行了归纳梳理。综合而言，参数化DIF检测方法因其具有参数不变性的特点，并且由于IRT模型种类众多，可以适应不同情境下的DIF检测；参数化方法在检测一致性和非一致性DIF方面也具有较为明显的优势。但是，相较于非参数化方法，参数化方法计算过程更为繁琐，耗时较长，不同的IRT模型对于不同检测方法的统计检验力有很大的影响，同时，有一部分方法对于样本容量也有一定的要求。一般而言，需要大约1000人才可能得到较为可信的结果[47]，Clauser和Mazor指出，对于MH、SIBTEST和LR等传统而有效的检测方法，每组被试量大约在200到250人之间是合适的[48]，而在实际测验中存在小样本的情况，样本量可能满足不了模型的要求[21]。简言之，无论是参数化方法还是非参数化方法，各种DIF检测方法都有各自独特的优势，进而存在各自相对优势的使用条件与范围。因此，研究者在实际中对DIF进行检测时，可以结合各种方法的优点和适用条件，且在必要时同时选用多种方法，以获得更为准确的检测结果。

DIF检测方法经过近些年的发展，已有较为完善的框架，但是适用于多组情况和多级计分的DIF检测方法还不是十分完备，需要研究者进一步关注。在今后的研究中，除了进一步研究和完善适用于多级计分、题组和多组情况下的DIF检测方法外，还可以根据不同情境和不同测验类型等实际情况对IRT模型进行拓展。在通过模拟研究探究DIF产生的机制、检测DIF的方法之外，还需要进一步结合真实测验探究DIF的检测与处理方法。例如，陈冠宇和陈平将基于广义线性混合模型和非线性混合模型构建的IRT模型, 定义为解释性项目反应理论模型，在IRT模型的基础上加入预测变量，在刻画被试和项目间关系的基础上进一步解释相关变量影响，进而拓展IRT模型的应用范围[49]。

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